《向量值函数》基本概念:连续性、可导性和可微性及计算问题
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一、向量值函数的概念
一元函数是一个由定义域到值域的映射,其定义域与值域都是一维数集.向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元函数,就是说n元向量值函数是R到Rn上的映射.
比如:二维向量值函数
三维向量值函数
它们分别描述了平面上和空间中的曲线.
二、向量值函数的极限与连续
以二维向量值函数为例:
对于二维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j,设它在t0的某去心邻域内有定义,如果
则称当t→t0时,向量值函数r(t)的极限存在,其极限为
如果二维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j在t0的某邻域内有定义,且
则称向量值函数r(t)在点t0处连续.
【注】二维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j在t0处连续的充分必要条件是其分量函数f(t)与g(t)在t0处都连续.
三、向量值函数导数与微分的概念
设向量值函数r=r(t)在t的某邻域内有定义,如果极限
存在,则称向量值函数r(t)在t处可导,并称极限值为向量值函数r(t)在t处的导数,记为r’(t)或者dr(t)/dt.
【注1】r’(t)也是一个向量值函数.如果向量值函数r(t)在t处可导,那么它在点t处必连续.
【注2】设三维向量值函数r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k,其中各分量函数在点t处可导,则r(t)在点t处可导,且
【注3】如果一个向量值函数r(t)在区间I上满足r’(t)连续,且在区间I内r’(t)≠0,称r(t)在区间I上是光滑的.一条曲线如果由多段光滑曲线段组成,称这条曲线为分段光滑曲线.
【注4】向量组函数的微分:
四、向量值函数的求导法则
设u(t),v(t)为可导的向量值函数,f(t)为可导的数值函数,C为常向量(即C的各分量都为任意常数构成的向量),k为常数,则有
五、空间曲线的切线及法平面方程
设空间曲线为C:x=f(t),y=g(t),z=h(t),则该曲线在点t0处的切线向量为
【注】这样计算得到的切向量指向为曲线参数t增大的方向.
空间曲线C在点P(f(t0),g(t0),h(t0))的切线方程为
称过点P且与向量T(t)垂直的平面为空间曲线C的法平面,其方程为
六、向量值函数的不定积分
(1) 向量值函数的原函数:设向量值函数r=r(t)在区间I内有定义,如果存在可导的向量值函数R(t),使得对于区间I内的每一点,都有R’(t)=r(t),则称向量值函数R(t)是r(t)在区间I内的一个原函数.
【注1】如果向量值函数R(t)是r(t)在区间I内的一个原函数,那么,R(t)的每个分量函数也是r(t)对应的分量函数在区间I内的一个原函数.
【注2】向量值函数r(t)在区间I内的任意原函数都具有R(t)+C的形式,其中C为常向量;
【注3】如果向量值函数r(t)在区间I内连续,那么,在区间I内它一定存在原函数.
(2) 向量值函数的不定积分:若R(t)是r(t)在区间I内的一个原函数,则
【注】向量值函数的不定积分可以通过计算其分量函数的不定积分得到.
七、向量值函数的定积分
设三维向量值函数r(t)=(f(t),g(t),h(t))在区间[a,b]上连续,定义该函数在区间[a,b]上的定积分为
向量值函数的定积分的牛顿—莱布尼兹公式:
设向量值函数r= r(t)在区间[a,b]上连续,R(t)是它在区间[a,b]上的一个原函数,则
【注】向量值函数定义,极限、连续性、导数、积分的讨论与计算,归结为各分量一元实值函数的讨论. 其对应的描述就是曲线的参数方程!具体解释、应用及例题参见下面列出的课件.
参考课件节选:
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